نظرية القيم المتوسطة

نظرية القيم المتوسطة

تمهيد

استمرارية دالة عددية يعنى رسم بيانها مرة واحدة دون رفع اليد

مبرهنة1

نظرية القيم المتوسطة

لتكن f دالة عددية معرفة و مستمرة على مجال I اذا كان a و b عنصران من I و كان α عدد حقيقى حيث :

. f(c) = α حيث c فانه يوجد عدد حقيقي f(a) α f(b)

مبرهنة2

التقابل

لتكن f دالة عددية معرفة و مستمرة على مجال[a , b] اذا كانت f رتيبة تماما على [a , b] فانه من اجل اى عدد حقيقي α حيث (f(b α (f(a: المعادلة f(x)= α تقبل حل وحيد فى المجال [a , b] الدالة f هى تقابل من [a , b] نحو [(f(b) , f(a:] او [(f(a) , f(b:] حسب اذا كانت الدالة متزايدة او متناقصة .

تمرينات تطبيقية

تمرين 1 : ما هو عدد حلول المعادلة x²-16 = 0 على المجال [∞ + , 0] ؟

الحل الدالة f حيث f(x) = x²-16 دالة كثيرة حدود فهى معرفة و مستمرة على R لندرس اتجاه تغيراتها على [∞ + , 0] ثم نحسب قيمها عند حدود المجال لدينا من جهة :

موجب b²-a² موجب ومنه b-a لكن f(b)-f(a) = b²-16-a²+16 = b²-a²

وهذا يعنى ان الدالة f متزايدة تماما على [∞ + , 0]

ومن جهة ثانية f(0) = 0²-16 = -16 و ∞+

نستنتج ان الدالة f متزايدة تماما على [∞ + , 0] سالبة عند 0 و موجبة عند ∞+ وحسب نظرية القيم المتوسطة المعادلة المرفقة للدالة f تقبل حل وحيد فى المجال [∞ + , 0]

تمرين 2 : ما هو عدد حلول المعادلة x3-6x²+6 = 0 على المجال [4 , 2-] ؟

الحل الدالة f حيث f(x) = x3-6x²+6 دالة كثيرة حدود فهى معرفة و مستمرة على R لندرس اتجاه تغيراتها على [4 , 2-] ثم نحسب قيمها عند حدود المجال لدينا من جهة :

موجب خارج خارج مجال الجذرين وسالب بين الجذرين اى f '(x) ومنه f '(x) = 3x²-12x = 3x(x-4)

اى ( f '(x موجب فى المجال [0 , 2-] و سالب فى المجال [4 , 0]ومنه f متزايدة تماما على [0 , 2-] و متناقصة على [4 , 0]

من جهة ثانية f(-2)=-26 f(0)=6 f(4)=-26

نستنتج ان الدالة f متزايدة تماما على [0 , 2-] سالبة عند 2- و موجبة عند 0 وحسب نظرية القيم المتوسطة المعادلة المرفقة للدالة f تقبل حل وحيد فى المجال [0 , 2-]

كذالك الدالة f متناقصة تماما على [4 , 0] سالبة عند 4 و موجبة عند 0 وحسب نظرية القيم المتوسطة المعادلة المرفقة للدالة f تقبل حل وحيد فى المجال [4 , 0]

فى الاخير المعادلة x3-6x²+6 = 0 تقبل حلين فى المجال [4 , 2-]

تمرين 3 (بدون حل )